与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ の部分を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

整理すると、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

これに $abc$ を加えます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式が因数分解できるか検討します。この式は、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開したものなので、元の式から推測して $(a+b+c)(ab+bc+ca)$ となるかどうかを試します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b+abc+ca^2 + ab^2 + b^2c+abc + abc+bc^2+c^2a$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$