ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$が与えられたとき、以下の計算を行いなさい。 (1) $||a||$ (2) $||b||$ (3) $3a + 2b$ (4) $\frac{1}{3}b - 2c$ (5) $4a - b + 2c$ (6) $||3a + 2c||$ (7) $a \cdot b$ (8) $c \cdot b$ (9) $(b+c) \cdot a$ (10) $(a+c) \cdot (c-a)$

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$が与えられたとき、以下の計算を行いなさい。

(1) $||a||$

(2) $||b||$

(3) $3a + 2b$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c$

(5) $4a - b + 2c$

(6) $||3a + 2c||$

(7) $a \cdot b$

(8) $c \cdot b$

(9) $(b+c) \cdot a$

(10) $(a+c) \cdot (c-a)$

2. 解き方の手順

(1) $||a|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

(2) $||b|| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(3) $3a + 2b = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 \\ 0 \\ 2/3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 + 6 \\ 0 - 4 \\ 2/3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22/3 \\ -4 \\ 14/3 \end{pmatrix}$

(5) $4a - b + 2c = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 4 - 6 \\ 8 - 0 + 4 \\ -12 - 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$

(6) $3a + 2c = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 10 \\ -13 \end{pmatrix}$. Then $||3a + 2c|| = \sqrt{(-3)^2 + 10^2 + (-13)^2} = \sqrt{9 + 100 + 169} = \sqrt{278}$

(7) $a \cdot b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = (1)(4) + (2)(0) + (-3)(2) = 4 + 0 - 6 = -2$

(8) $c \cdot b = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = (-3)(4) + (2)(0) + (-2)(2) = -12 + 0 - 4 = -16$

(9) $(b+c) \cdot a = (\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = (1)(1) + (2)(2) + (0)(-3) = 1 + 4 + 0 = 5$

(10) $(a+c) \cdot (c-a) = (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}) \cdot (\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = (-2)(-4) + (4)(0) + (-5)(1) = 8 + 0 - 5 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{14}$

(2) $2\sqrt{5}$

(3) $\begin{pmatrix} 11 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 22/3 \\ -4 \\ 14/3 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$

(6) $\sqrt{278}$

(7) $-2$

(8) $-16$

(9) $5$

(10) $3$