1の3乗根のうち虚数であるものを$\omega$とするとき、以下の値を求めよ。 - $\omega^2 + \omega$ - $\omega^{10} + \omega^5$ - $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$ - $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

1. 問題の内容

1の3乗根のうち虚数であるものを$\omega$とするとき、以下の値を求めよ。

- $\omega^2 + \omega$

- $\omega^{10} + \omega^5$

- $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$

- $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

2. 解き方の手順

まず、$\omega$は1の3乗根の虚数解なので、以下の性質を持つ。

$\omega^3 = 1$

$1 + \omega + \omega^2 = 0$

(1) $\omega^2 + \omega$ の計算

$1 + \omega + \omega^2 = 0$ より、

$\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{10} + \omega^5$ の計算

$\omega^3 = 1$ より、$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$

$\omega^5 = (\omega^3) \cdot \omega^2 = \omega^2$

よって、

$\omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1$

(3) $\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1$ の計算

$\omega^{10} = \omega$、$\omega^5 = \omega^2$より、

$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1$

$\frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$

$\frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega$

よって、

$\frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(4) $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$ の計算

$(\omega^2 + 5\omega)^2 = (\omega^2)^2 + 10 \omega^3 + 25 \omega^2 = \omega^4 + 10 + 25\omega^2 = \omega + 10 + 25\omega^2$

$(5\omega^2 + \omega)^2 = 25(\omega^2)^2 + 10 \omega^3 + \omega^2 = 25\omega^4 + 10 + \omega^2 = 25\omega + 10 + \omega^2$

$(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = (\omega + 10 + 25\omega^2) + (25\omega + 10 + \omega^2) = 26\omega^2 + 26\omega + 20 = 26(\omega^2 + \omega) + 20 = 26(-1) + 20 = -6$

3. 最終的な答え

ア：-1

イ：-1

ウ：0

エ：-6