(1) A, B, C が異なる3点となるためには、 z ≠ 1 z \neq 1 z = 1 かつ z 2 ≠ 1 z^2 \neq 1 z 2 = 1 かつ z 2 ≠ z z^2 \neq z z 2 = z が必要。 z 2 ≠ 1 z^2 \neq 1 z 2 = 1 より z ≠ 1 , z ≠ − 1 z \neq 1, z \neq -1 z = 1 , z = − 1 z 2 ≠ z z^2 \neq z z 2 = z より z ( z − 1 ) ≠ 0 z(z-1) \neq 0 z ( z − 1 ) = 0 よって z ≠ 0 , z ≠ 1 z \neq 0, z \neq 1 z = 0 , z = 1 したがって、 z ≠ − 1 , 0 , 1 z \neq -1, 0, 1 z = − 1 , 0 , 1 。 1<2なので、1=-1, 2=0, 3=1, 4=-1,0,1とすると、
空欄1は-1, 空欄2は0, 空欄3は1。4は不要。
(2) 異なる3点 A, B, C が同一直線上にあるためには、 z 2 − 1 z − 1 \frac{z^2-1}{z-1} z − 1 z 2 − 1 が実数である必要がある。 z 2 − 1 z − 1 = z + 1 \frac{z^2-1}{z-1} = z+1 z − 1 z 2 − 1 = z + 1 。z+1が実数であるためには、zの実部が実数であれば良い。 zが実数であれば同一直線上にあるため、zは実数。z≠1。
zが実数であることは、 z = z ˉ z = \bar{z} z = z ˉ が成り立つことと同義。 したがって、 z ≠ − 1 , 1 z \neq -1, 1 z = − 1 , 1 かつ z z z は実数。 z≠1, -1と、 z = z ˉ z = \bar{z} z = z ˉ が答え。
(3) A, B, C が正三角形の頂点となるとき、以下の関係が成り立つ。
1 + ω z + ω 2 z 2 = 0 1 + \omega z + \omega^2 z^2 = 0 1 + ω z + ω 2 z 2 = 0 または 1 + ω 2 z + ω z 2 = 0 1 + \omega^2 z + \omega z^2 = 0 1 + ω 2 z + ω z 2 = 0 ここで、 ω = − 1 + 3 i 2 \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} ω = 2 − 1 + 3 i 、 ω 2 = − 1 − 3 i 2 \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} ω 2 = 2 − 1 − 3 i 。 z = − 1 ± − 3 2 z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} z = 2 − 1 ± − 3 。 z = − 1 ± i 3 2 = − 1 2 ± 3 2 i z = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} = \frac{-1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i z = 2 − 1 ± i 3 = 2 − 1 ± 2 3 i . したがって、 z = − 1 2 ± 3 2 i z = \frac{-1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i z = 2 − 1 ± 2 3 i 。 つまり、6=-1, 7=3, 8=2, 9=3, 10=2。
(4) z≠0 のとき、直線 AB と直線 BC が垂直となる条件を求める。
直線ABの傾きは z − 1 0 \frac{z-1}{0} 0 z − 1 , 直線BCの傾きは z 2 − z 0 \frac{z^2-z}{0} 0 z 2 − z ABとBCが垂直となるためには、
z − 1 1 ⋅ z 2 − z z = − k 2 \frac{z-1}{1} \cdot \frac{z^2-z}{z} = -k^2 1 z − 1 ⋅ z z 2 − z = − k 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1 ) z = ( z − 1 ) 2 = − k 2 \frac{z-1}{z-1}\frac{z(z-1)}{z} = (z-1)^2 = -k^2 z − 1 z − 1 z z ( z − 1 ) = ( z − 1 ) 2 = − k 2 となるような実数kが存在する必要がある。
ABの傾きを表すベクトルは z − 1 z-1 z − 1 , BCの傾きを表すベクトルは z 2 − z = z ( z − 1 ) z^2-z=z(z-1) z 2 − z = z ( z − 1 ) 。 ABとBCが垂直なので、 ( z − 1 ) ⋅ ( z ( z − 1 ) ‾ ) + ( z − 1 ‾ ) ⋅ ( z ( z − 1 ) ) = 0 (z-1) \cdot (\overline{z(z-1)}) + (\overline{z-1}) \cdot (z(z-1))=0 ( z − 1 ) ⋅ ( z ( z − 1 ) ) + ( z − 1 ) ⋅ ( z ( z − 1 )) = 0 Re ( ( z − 1 ) ( z ( z − 1 ) ) ‾ ) = 0 \text{Re} ((z-1)\overline{(z(z-1))}) = 0 Re (( z − 1 ) ( z ( z − 1 )) ) = 0 Re ( z − 1 ) z ‾ ( z − 1 ‾ ) = 0 \text{Re}(z-1)\overline{z}(\overline{z-1}) = 0 Re ( z − 1 ) z ( z − 1 ) = 0 Re ( ( z − 1 ) z ˉ ( z ˉ − 1 ˉ ) ) = 0 \text{Re}((z-1)\bar{z} (\bar{z}-\bar{1})) = 0 Re (( z − 1 ) z ˉ ( z ˉ − 1 ˉ )) = 0
( z − 1 ) ⋅ z ( z − 1 ) ‾ (z-1) \cdot \overline{z(z-1)} ( z − 1 ) ⋅ z ( z − 1 ) が純虚数 z 2 − z z − 1 = z \frac{z^2-z}{z-1}= z z − 1 z 2 − z = z z 2 − z z − 1 \frac{z^2-z}{z-1} z − 1 z 2 − z arg ( z − 1 ) − arg ( z 2 − z ) \arg(z-1) - \arg (z^2-z) arg ( z − 1 ) − arg ( z 2 − z )
( z − 1 ) と ( z 2 − z ) (z-1)と(z^2-z) ( z − 1 ) と ( z 2 − z ) が垂直 複素数の積が純虚数になれば良い。
( z − 1 ) ( z ˉ 2 − z ˉ ) (z-1)(\bar z^2 - \bar z) ( z − 1 ) ( z ˉ 2 − z ˉ ) ( z − 1 ) z ˉ ( z ˉ − 1 ) (z-1)\bar z (\bar z - 1) ( z − 1 ) z ˉ ( z ˉ − 1 ) ( z − 1 z ) = k ⋅ i (\frac {z-1}{z}) = k \cdot i ( z z − 1 ) = k ⋅ i
z − 1 z + z ˉ − 1 z ˉ = 0 \frac{z-1}{z} + \frac{\bar z -1}{\bar z} = 0 z z − 1 + z ˉ z ˉ − 1 = 0 z − 1 z + ( z − 1 z ) ‾ = 0 \frac{z-1}{z} + \overline{(\frac{z-1}{z})} = 0 z z − 1 + ( z z − 1 ) = 0 z − 1 z + z ˉ − 1 z ˉ = 0 \frac{z-1}{z} + \frac{\bar z -1}{\bar z} = 0 z z − 1 + z ˉ z ˉ − 1 = 0 ( z − 1 ) z ˉ + ( z ˉ − 1 ) z = 0 (z-1)\bar z + (\bar z -1) z = 0 ( z − 1 ) z ˉ + ( z ˉ − 1 ) z = 0 z z ˉ − z ˉ + z ˉ z − z = 0 z\bar z - \bar z + \bar z z -z = 0 z z ˉ − z ˉ + z ˉ z − z = 0 2 ∣ z ∣ 2 − z − z ˉ = 0 2|z|^2 - z - \bar z = 0 2∣ z ∣ 2 − z − z ˉ = 0 2 ∣ z ∣ 2 − 2 Re ( z ) = 0 2|z|^2 - 2\text{Re} (z) = 0 2∣ z ∣ 2 − 2 Re ( z ) = 0 ∣ z ∣ 2 = Re ( z ) |z|^2 = \text{Re}(z) ∣ z ∣ 2 = Re ( z )
したがって、 z = 1 z ˉ z = \frac{1}{\bar{z}} z = z ˉ 1 が成り立つ。 