複素数平面上の3点A(1), B(z), C(z^2)に関して、以下の問いに答える。 (1) A, B, Cが異なる3点となるためのzの条件を求める。 (2) A, B, Cが同一直線上にあるようなzの条件を求める。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるときのzを求める。 (4) z≠0のとき、直線ABと直線BCが垂直となるようなzの関係式を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A(1), B(z), C(z^2)に関して、以下の問いに答える。

(1) A, B, Cが異なる3点となるためのzの条件を求める。

(2) A, B, Cが同一直線上にあるようなzの条件を求める。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるときのzを求める。

(4) z≠0のとき、直線ABと直線BCが垂直となるようなzの関係式を求める。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点となるための条件は、$z \neq 1$ かつ $z^2 \neq 1$ かつ $z^2 \neq z$である。

$z^2 \neq 1$ より、$z \neq \pm 1$

$z^2 \neq z$ より、$z^2 - z \neq 0$ つまり $z(z - 1) \neq 0$ よって $z \neq 0, 1$

したがって、$z \neq 0, 1, -1$

小さい順に並べると、-1, 0, 1であるから、 1=-1, 2=0, 3=

1. 4に当てはまるものはない。

(2) A, B, Cが同一直線上にあるための条件は、$\frac{z-1}{z^2-1}$ が実数であること。

$\frac{z-1}{z^2-1} = \frac{z-1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{z+1}$ が実数であること。

$z+1$が実数である必要はない。$z \neq 1, -1$で$\frac{1}{z+1}$が実数になるのは、zが実数のとき。

したがって、zは実数であり、$z \neq 1$かつ$z \neq -1$。

1=-1, 2=1, 3に当てはまるものはない。 $z=5$ は実数。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、

$(z-1)^2 = (z^2-z)(z^2-1)$.

または $\frac{z-1}{z^2-z}=e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$

$z^2+1+z^4-2z-2z^2-2z^3 +3z=0$

この解き方は難しいので、正三角形の条件を使う。

$|z-1|=|z^2-z|=|z^2-1|$

$\frac{c-a}{b-a} = \frac{z^2-1}{z-1} = z+1 = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

6=-1, 7=0, 8=2, 9=3, 10=

2.

(4) 直線ABと直線BCが垂直となる条件は、$\frac{z-1}{z^2-z}$が純虚数となること。

$\frac{z-1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}$ が純虚数となること。

$\frac{1}{z} = -(\frac{1}{z})^{-}$

$\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} = 0$

$\frac{\bar{z}+z}{z\bar{z}} = 0$

$\bar{z}+z = 0$

$z+\bar{z} = 0$

$z=-\bar{z}$. したがって、zは純虚数。

1

1. 最終的な答え

(1) 1: -1, 2: 0, 3: 1

(2) 1: -1, 2: 1, 5: 実数

(3) 6: -1, 7: 0, 8: 2, 9: 3, 10: 2

(4) 11: 2