与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$$x^2 + (4y - 1)x + (3y^2 + y - 2)$$

次に、$x$の二次式として、定数項 $3y^2 + y - 2$ を因数分解します。

$$3y^2 + y - 2 = (3y - 2)(y + 1)$$

この結果を利用して、全体の式を因数分解できるかどうかを試します。

全体式が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定すると、

$$(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a + c)xy + acy^2 + (b + d)x + (ad + bc)y + bd$$

係数を比較すると

\begin{align*}

a + c &= 4 \\

ac &= 3 \\

b + d &= -1 \\

ad + bc &= 1 \\

bd &= -2

\end{align*}

$ac = 3$ となる $a$ と $c$ の組み合わせは $(1, 3)$ か $(3, 1)$ です。

$a + c = 4$ なので、$(a, c) = (1, 3)$ または $(3, 1)$ です。

$(a, c) = (1, 3)$ のとき、

\begin{align*}

b + d &= -1 \\

d + 3b &= 1 \\

bd &= -2

\end{align*}

$d = -1 - b$ を $d + 3b = 1$ に代入すると、

$-1 - b + 3b = 1$ より $2b = 2$ なので、$b = 1$。

すると $d = -1 - 1 = -2$。

$bd = (1)(-2) = -2$ で条件を満たします。

したがって、$(a, c) = (1, 3)$ かつ $(b, d) = (1, -2)$ となり、

$$(x + y + 1)(x + 3y - 2)$$

となります。

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x + 3y - 2)$