問題は、直方体の辺をベクトル $x = \vec{CA}$, $y = \vec{CD}$, $z = \vec{CG}$ と定義したとき、指定されたベクトルを $kx + my + nz$ の形で表現する問題です。具体的には、$\vec{CH}$, $\vec{GD}$, $\vec{GF}$, $\vec{IG}$, $\vec{CI}$, $\vec{IG}$を $x$, $y$, $z$ を用いて表すことが求められています。

1. 問題の内容

問題は、直方体の辺をベクトル $x = \vec{CA}$, $y = \vec{CD}$, $z = \vec{CG}$ と定義したとき、指定されたベクトルを $kx + my + nz$ の形で表現する問題です。具体的には、$\vec{CH}$, $\vec{GD}$, $\vec{GF}$, $\vec{IG}$, $\vec{CI}$, $\vec{IG}$を $x$, $y$, $z$ を用いて表すことが求められています。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{CH}$の表現:

$\vec{CH} = \vec{CD} + \vec{DH} = \vec{CD} + \vec{CG} = y + z$

(2) $\vec{GD}$の表現:

$\vec{GD} = -\vec{DG} = -\vec{CA} = -x$

(3) $\vec{GF}$の表現:

$\vec{GF} = \vec{CG} = z$

(4) $\vec{IG}$の表現:

$\vec{IG} = \vec{IK} + \vec{KG} = -\vec{CA} + (-\vec{CG}) = -x - z$

(5) $\vec{CI}$の表現:

$\vec{CI} = \vec{CA} + \vec{AI} = \vec{CA} + \vec{CG} + \vec{GI} = x + z + \vec{GI} = x+z+(-\vec{CD}) = x - y + z$

(6) $\vec{IG}$の表現:

$\vec{IG} = \vec{IH} + \vec{HG} = -\vec{CA} + (-\vec{CG}) = -x - z$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{CH} = 0x + 1y + 1z = y + z$

(2) $\vec{GD} = -1x + 0y + 0z = -x$

(3) $\vec{GF} = 0x + 0y + 1z = z$

(4) $\vec{IG} = -1x + 0y -1z = -x - z$

(5) $\vec{CI} = 1x - 1y + 1z = x - y + z$

(6) $\vec{IG} = -1x + 0y -1z = -x - z$