$x$ の不等式 $|x| + |x-1| \le 2$ を解く。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $|x| + |x-1| \le 2$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、$x$ の範囲を場合分けして考える。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、不等式は

$-x + (1-x) \le 2$

$-2x + 1 \le 2$

$-2x \le 1$

$2x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{2} \le x < 0$

(ii) $0 \le x < 1$ のとき

$|x| = x$、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、不等式は

$x + (1-x) \le 2$

$1 \le 2$

これは常に成り立つので、$0 \le x < 1$

(iii) $1 \le x$ のとき

$|x| = x$、 $|x-1| = x-1$ なので、不等式は

$x + (x-1) \le 2$

$2x - 1 \le 2$

$2x \le 3$

$x \le \frac{3}{2}$

したがって、$1 \le x \le \frac{3}{2}$

(i), (ii), (iii) より、$-\frac{1}{2} \le x < 0$、$0 \le x < 1$、$1 \le x \le \frac{3}{2}$ を合わせた範囲が解となる。

したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$