与えられた分数の値を求める問題です。具体的には、$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた分数の値を求める問題です。具体的には、$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母と分子に $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

分子を計算します。

$(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{3} - \sqrt{2} - 2 + \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 = 1 - 2 - 3 + (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} + \sqrt{6}) = -4 + 2\sqrt{6}$

分母を計算します。

$(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{-4 + 2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{-2+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

さらに分母を有理化します。

$\frac{-2+\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{(-2+\sqrt{6})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{12}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{2}+\sqrt{3} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$