不等式 $ax + a - 3 > 0$ の解が $x < -2$ となるような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $ax + a - 3 > 0$ の解が $x < -2$ となるような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $ax + a - 3 > 0$ を変形します。

$ax > 3 - a$

ここで、$a$ の符号によって場合分けが必要です。

(1) $a < 0$ のとき、不等式の両辺を $a$ で割ると不等号の向きが反転し、

$x < \frac{3 - a}{a}$

このとき、解が $x < -2$ となるためには、

$\frac{3 - a}{a} = -2$

である必要があります。

(2) $a = 0$ のとき、不等式は $0 > 3$ となり、これは成り立ちません。したがって、$a = 0$ は解ではありません。

(3) $a > 0$ のとき、不等式の両辺を $a$ で割ると不等号の向きは変わらず、

$x > \frac{3 - a}{a}$

このとき、解が $x < -2$ となることはありません。したがって、$a > 0$ は解ではありません。

したがって、$a < 0$ の場合に $\frac{3 - a}{a} = -2$ を解きます。

$3 - a = -2a$

$a = -3$

これは $a < 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -3$