$x-6$, $x$, $y$ がこの順で等比数列であり、$x-9$, $x$, $y-x$ がこの順で等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、$x > 6$, $y > 0$ であり、$x$, $y$ は実数である。

1. 問題の内容

$x-6$, $x$, $y$ がこの順で等比数列であり、$x-9$, $x$, $y-x$ がこの順で等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。ただし、$x > 6$, $y > 0$ であり、$x$, $y$ は実数である。

2. 解き方の手順

等比数列の性質より、

$$\frac{x}{x-6} = \frac{y}{x}$$

$$x^2 = y(x-6)$$

$$y = \frac{x^2}{x-6} \quad (*)$$

等差数列の性質より、

$$x - (x-9) = (y-x) - x$$

$$9 = y - 2x$$

$$y = 2x + 9 \quad (**)$$

(*) と (**) より、

$$\frac{x^2}{x-6} = 2x + 9$$

$$x^2 = (2x+9)(x-6)$$

$$x^2 = 2x^2 - 12x + 9x - 54$$

$$x^2 = 2x^2 - 3x - 54$$

$$0 = x^2 - 3x - 54$$

$$0 = (x-9)(x+6)$$

$x=9$ または $x=-6$

$x>6$ より、$x=9$

$y = 2x + 9$ に $x=9$ を代入すると、$y = 2(9) + 9 = 18+9 = 27$

$y > 0$ を満たすので、$x = 9$，$y = 27$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$x = 9$, $y = 27$