8個の数字0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4を1列に並べて作ることのできる8桁の整数は何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

8個の数字0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4を1列に並べて作ることのできる8桁の整数は何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、すべての数字を区別して並べると考えます。8個の数字を並べる順列は $8!$ 通りです。

しかし、実際には1が3つ、2が2つあるので、これらの重複を考慮する必要があります。

すべての並べ方から、1の並び方の重複(3!通り)と2の並び方の重複(2!通り)で割る必要があります。

したがって、すべての並べ方は $\frac{8!}{3!2!}$ 通りです。

次に、先頭が0である場合を考えます。先頭が0である場合は、残りの7個の数字1, 1, 1, 2, 2, 3, 4を並べることになります。

この並べ方は $\frac{7!}{3!2!}$ 通りです。

8桁の整数を求めるためには、すべての並べ方から先頭が0である場合の数を引く必要があります。

$\frac{8!}{3!2!} - \frac{7!}{3!2!} = \frac{8 \times 7!}{3!2!} - \frac{7!}{3!2!} = \frac{7 \times 7!}{3!2!} = \frac{7 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = 7 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 49 \times 60 = 2940$

計算を整理します。

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 2} = 8 \times 7 \times 5 \times 4 \times 3 = 3360$

$\frac{7!}{3!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 2} = 7 \times 5 \times 4 \times 3 = 420$

したがって、求める個数は $3360 - 420 = 2940$ 個です。

3. 最終的な答え

2940個