7つの文字 A, B, C, D, E, F, G を重複なく使って作ることができる文字列について、以下の問いに答える問題です。 (1) A と B が両端にある文字列の総数を求めます。 (2) B が A と C の両方と隣り合う文字列の総数を求めます。 (3) 作ることのできるすべての文字列を英和辞典の単語の順序に従って並べたとき、2022番目にくる文字列を求めます。
2025/5/5
1. 問題の内容
7つの文字 A, B, C, D, E, F, G を重複なく使って作ることができる文字列について、以下の問いに答える問題です。
(1) A と B が両端にある文字列の総数を求めます。
(2) B が A と C の両方と隣り合う文字列の総数を求めます。
(3) 作ることのできるすべての文字列を英和辞典の単語の順序に従って並べたとき、2022番目にくる文字列を求めます。
2. 解き方の手順
(1) A と B が両端にある文字列
A と B が両端にあるので、並べ方は A _ _ _ _ _ B または B _ _ _ _ _ A のいずれかです。間の5つの文字は C, D, E, F, G の並び替えなので、5! 通りあります。したがって、A と B が両端にある文字列は 個です。
(2) B が A と C の両方と隣り合う文字列
B が A と C の両方と隣り合うので、A, B, C の並び方は ABC または CBA のいずれかです。この ABC または CBA を一つの塊として考え、残り 4 文字 D, E, F, G と合わせて 5 つの要素を並べます。この 5 つの要素の並び方は 5! 通りあります。したがって、B が A と C の両方と隣り合う文字列は 個です。
(3) 2022番目の文字列
7つの文字 A, B, C, D, E, F, G を英和辞典の順に並べると、A, B, C, D, E, F, G となります。
まず、先頭が A である文字列の数を考えます。残りの6文字の並び替えなので、6! = 720 個あります。
次に、先頭が B である文字列の数を考えます。同様に、6! = 720 個あります。
先頭が C である文字列も 6! = 720 個あります。
したがって、先頭が A, B, C である文字列の数は 個です。
2022番目の文字列は、この範囲に含まれています。
2022 - (2 x 720) = 2022 - 1440 = 582
つまり、先頭が C である文字列の中で 582 番目の文字列が答えになります。
次に、2文字目が A である文字列の数を考えます。残りの5文字の並び替えなので、5! = 120 個あります。
2文字目が B である文字列も 5! = 120 個あります。
2文字目が D である文字列も 5! = 120 個あります。
2文字目が E である文字列も 5! = 120 個あります。
2文字目が F である文字列も 5! = 120 個あります。
2文字目は F です。
582 - 480 = 102
つまり、CA, CB, CD, CEの後のCFから数えて102番目ということになります。
次に、3文字目がAの文字列の数を考えます。4! = 24
3文字目がBの文字列の数を考えます。4! = 24
3文字目がDの文字列の数を考えます。4! = 24
3文字目がEの文字列の数を考えます。4! = 24
102番目は4x24 = 96より、5番目の文字なので、3文字目はGとなります。
102-96=6
次に、4文字目がAの文字列の数を考えます。3!=6
よって4文字目はAとなります。
残りの文字の並び順は、B, D, E
したがって、CABDEが最終的な文字の並び順です。
順番に並べると、A, B, C, D, E, F, G
先頭がA 720
先頭がB 720
先頭がC 720
合わせて2160 > 2022
2022 - (720 x 2) = 582
CA 120
CB 120
CD 120
CE 120
CF 120
480
102
CF A 24
CF B 24
CF D 24
CF E 24
96
6
CF G
CFG A B D E 1
3. 最終的な答え
(1) 240個
(2) 240個
(3) CFGAEDB