ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれ$A, B, C$で表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$ (1) c大学を受験した人は何人か。すなわち、$n(C)$を求めよ。 (2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。すなわち、$n(A \cap B \cap C)$を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれ$A, B, C$で表す。

$n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$

(1) c大学を受験した人は何人か。すなわち、$n(C)$を求めよ。

(2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。すなわち、$n(A \cap B \cap C)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$

まず、$n(B \cup C) = 55$より、

$n(C) = n(B \cup C) - n(B) + n(B \cap C)$

$n(C) = 55 - 40 + n(B \cap C)$

$n(C) = 15 + n(B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = n(A \cup (B \cup C)) = n(A) + n(B \cup C) - n(A \cap (B \cup C))$

$99 = 65 + 55 - n((A \cap B) \cup (A \cap C))$

$99 = 120 - n((A \cap B) \cup (A \cap C))$

$n((A \cap B) \cup (A \cap C)) = 120 - 99 = 21$

$n((A \cap B) \cup (A \cap C)) = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)$

$21 = 14 + 11 - n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 14 + 11 - 21 = 4$

ここで、$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$より、

$78 = n(C) + 65 - 11$

$n(C) = 78 - 65 + 11 = 24$

(2)

(1)より、$n(A \cap B \cap C) = 4$

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人