三角比に関する問題です。 (1) 直角三角形の図から、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めます。 (2) $\theta$が鈍角で$\cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求めます。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$と$\tan\theta = -1$を満たす$\theta$を求めます。 (4) $\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表します。

1. 問題の内容

三角比に関する問題です。

(1) 直角三角形の図から、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めます。

(2) $\theta$が鈍角で$\cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求めます。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$と$\tan\theta = -1$を満たす$\theta$を求めます。

(4) $\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表します。

2. 解き方の手順

(1) 図の直角三角形において、三平方の定理より、$AB^2 + BC^2 = AC^2$なので、$1^2 + (\sqrt{2})^2 = AC^2$となり、$AC^2 = 3$、$AC = \sqrt{3}$となります。

$\sin\theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\cos\theta = -\frac{3}{4}$で$\theta$が鈍角なので、$\sin\theta > 0$です。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$は、$60^\circ$と$120^\circ$です。

(2) $\tan\theta = -1$を満たす$\theta$は、$135^\circ$です。

(4) $\sin(180^\circ - x) = \sin x$なので、$\sin 115^\circ = \sin(180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan\theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$, (2) $\theta = 135^\circ$

(4) $\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$