与えられた三角形に関する問題を解く。 問題[5]: $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$ のとき、$CA$の長さと外接円の半径 $R$ を求める。 問題[6]: $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$ のとき、$\angle A$ の大きさを求める。 問題[7]: $\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた三角形に関する問題を解く。

問題[5]: $\triangle ABC$ において、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$ のとき、$CA$の長さと外接円の半径 $R$ を求める。

問題[6]: $\triangle ABC$ において、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$ のとき、$\angle A$ の大きさを求める。

問題[7]: $\triangle ABC$ において、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

### 問題[5]

1. $\angle C$ を求める。

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

2. 正弦定理を利用して $CA$ を求める。

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$

$CA = \frac{4\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

3. 外接円の半径 $R$ を求める。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$2R = \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$

$R = 2\sqrt{2}$

### 問題[6]

1. 余弦定理を利用して $\cos A$ を求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{1}{2}$

2. $\angle A$ を求める。

$\cos A = \frac{1}{2}$ より、$\angle A = 60^\circ$

### 問題[7]

1. $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

問題[5]: $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

問題[6]: $A = 60^\circ$

問題[7]: $S = 6\sqrt{6}$