原点 $O$ を原点とする座標空間に2点 $A(3, 0, 1)$, $B(0, 1, 2)$ がある。線分 $OA$, $OB$ を隣り合う2辺とする平行四辺形の周および内部を $D$ とする。実数 $t$ に対して、点 $C(-3, 3, 5)$ を通り、$\vec{n} = (3t+1, 2t+3, -t-5)$ を法線ベクトルとする平面を $\alpha$ とする。このとき、平面 $\alpha$ が $D$ と共有点をもつような $t$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

原点 $O$ を原点とする座標空間に2点 $A(3, 0, 1)$, $B(0, 1, 2)$ がある。線分 $OA$, $OB$ を隣り合う2辺とする平行四辺形の周および内部を $D$ とする。実数 $t$ に対して、点 $C(-3, 3, 5)$ を通り、$\vec{n} = (3t+1, 2t+3, -t-5)$ を法線ベクトルとする平面を $\alpha$ とする。このとき、平面 $\alpha$ が $D$ と共有点をもつような $t$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

平行四辺形 $OACB'$ の頂点 $C'$ の座標は $A + B = (3, 1, 3)$ である。

$D$ は平行四辺形 $OACB'$ の周および内部なので、点 $P \in D$ は実数 $s, t$ ($0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$) を用いて

$P = sA + tB$ と表せる。つまり、

$P = s(3, 0, 1) + t(0, 1, 2) = (3s, t, s+2t)$

平面 $\alpha$ は点 $C(-3, 3, 5)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (3t+1, 2t+3, -t-5)$ なので、平面 $\alpha$ の方程式は

$(3t+1)(x+3) + (2t+3)(y-3) + (-t-5)(z-5) = 0$

$D$ と $\alpha$ が共有点を持つとき、ある $s, t$ ($0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$) に対して、点 $P(3s, t, s+2t)$ が平面 $\alpha$ 上にある。つまり

$(3t+1)(3s+3) + (2t+3)(t-3) + (-t-5)(s+2t-5) = 0$

$(3t+1)(3s+3) + (2t+3)(t-3) + (-t-5)(s+2t-5) = 0$

$(9t+3)s + 9t+3 + (2t^2 - 6t + 3t - 9) + (-t-5)s -2t^2 + 5t + 10t - 25 = 0$

$(8t-2)s + 9t+3 + 2t^2 - 3t - 9 - 2t^2 + 15t - 25 = 0$

$(8t-2)s + 21t - 31 = 0$

$(8t-2)s = -21t + 31$

$s = \frac{-21t + 31}{8t-2}$

$0 \le s \le 1$ より

$0 \le \frac{-21t + 31}{8t-2} \le 1$

(i) $\frac{-21t + 31}{8t-2} \ge 0$

$\frac{21t - 31}{8t-2} \le 0$

$\frac{2}{8} \le t \le \frac{31}{21}$

$\frac{1}{4} \le t \le \frac{31}{21}$

(ii) $\frac{-21t + 31}{8t-2} \le 1$

$\frac{-21t + 31}{8t-2} - 1 \le 0$

$\frac{-21t + 31 - (8t-2)}{8t-2} \le 0$

$\frac{-29t + 33}{8t-2} \le 0$

$\frac{29t - 33}{8t-2} \ge 0$

$t \le \frac{2}{8}$ または $t \ge \frac{33}{29}$

$t \le \frac{1}{4}$ または $t \ge \frac{33}{29}$

(i)と(ii)の共通範囲を考えると

$\frac{33}{29} \le t \le \frac{31}{21}$

3. 最終的な答え

$\frac{33}{29} \le t \le \frac{31}{21}$