正八面体の頂点にある6つの球を、それぞれ異なる6色で塗り分ける方法の数を求める問題です。ただし、正八面体を回転させて一致する塗り方は同じものとみなします。

1. 問題の内容

正八面体の頂点にある6つの球を、それぞれ異なる6色で塗り分ける方法の数を求める問題です。ただし、正八面体を回転させて一致する塗り方は同じものとみなします。

2. 解き方の手順

正八面体の回転対称性を考慮して、色の塗り方を数え上げます。

まず、正八面体をある軸を中心に回転させたときに、自分自身と一致するような回転を考えます。

* **回転軸1: 対向する頂点を通る軸:**

3つのこのような軸があり、それぞれ90度、180度、270度の回転が可能です。90度と270度の回転は同じ配置になります。180度回転の場合、対向する頂点のペアが入れ替わります。

* **回転軸2: 対向する面の中心を通る軸:**

4つのこのような軸があり、それぞれ120度と240度の回転が可能です。

* **回転軸3: 対向する辺の中点を通る軸:**

6つのこのような軸があり、それぞれ180度の回転が可能です。

正八面体の回転群の位数は24です。色の固定化定理を使うことも可能ですが、ここでは地道に数え上げます。

まず、6色すべてを使う場合を考えます。6つの球を区別すると、$6! = 720$通りの塗り方があります。

しかし、回転によって同じになるものを同一視する必要があります。

例えば、ある頂点の色を固定して考えると、残りの5つの色の並び方が問題になります。

正八面体の対称性から、ある頂点を固定して、それを上にしたとき、下面の4つの頂点を回転させた塗り方は同じとみなされます。また、上面と下面を入れ替えることもできます。

正八面体のある頂点を固定し、さらにその対頂点の色を固定します。

このとき、残りの4頂点の色は円順列になるので、$(4-1)! = 3! = 6$通りです。

最初の頂点の選び方は6通り、その対頂点の選び方は5通りなので、$6 \times 5 \times 6 = 180$通り。

しかし、正八面体を回転させると同じになるものを除かないといけません。

正八面体の自己同型群の位数は24なので、$6! / 24 = 720/24 = 30$通りが考えられます。

しかし、これは誤りです。正八面体の回転群を考慮すると、計算が複雑になります。

別の考え方として、一つの球の色を固定して考えます。

その球とつながっている4つの球の色をまず選びます。

残りの1つの球の色は自動的に決まります。

最初の球の色を固定すると、残りの5つの色の選び方を考えることになります。

より簡単な解法として、Burnsideの補題を用います。

3. 最終的な答え

6色すべてを使う場合の塗り方は、6通りです。