平行四辺形OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺OCを2:1に内分する点をEとする。線分DEを1:3に内分する点をP、直線OPと直線ABの交点をFとする。 (1) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とするとき、$\overrightarrow{OF}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$を用いて表せ。 (2) 四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の何倍であるか。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺OCを2:1に内分する点をEとする。線分DEを1:3に内分する点をP、直線OPと直線ABの交点をFとする。

(1) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とするとき、$\overrightarrow{OF}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$を用いて表せ。

(2) 四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の何倍であるか。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OE}$、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$を用いて表す。

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OD} + 1\overrightarrow{OE}}{1+3} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OE} = \frac{3}{4}(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}) + \frac{1}{4}(\frac{2}{3}\overrightarrow{c}) = \frac{3}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{c}$

次に、点Fが直線OP上にあるので、実数kを用いて

$\overrightarrow{OF} = k\overrightarrow{OP} = k(\frac{3}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{c})$

と表せる。

また、点Fが直線AB上にあるので、実数sを用いて

$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + s(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OF} = (1-s)\overrightarrow{a} + s(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = (1-s+s)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c} = (1)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OF} = (1-s)\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c} = (1)\overrightarrow{a} -s\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c}$

と表せる。

$\overrightarrow{OF} = \frac{3k}{8}\overrightarrow{a} + \frac{k}{6}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + s\overrightarrow{c}$

係数を比較して、

$\frac{3k}{8} = 1$

$\frac{k}{6} = s$

$k = \frac{8}{3}$

$s = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{9}$

$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{a} + \frac{4}{9}\overrightarrow{c}$

または、

$\overrightarrow{OF} = \frac{8}{3}(\frac{3}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{6}\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} + \frac{4}{9}\overrightarrow{c}$

(2) 四角形OAFEの面積を求める。

平行四辺形OABCの面積をSとする。

$\triangle OAF = \frac{OF}{OB} \triangle OAB= s\triangle OAB = \frac{4}{9}\triangle OAB$

$OA= a,OC=c$なので平行四辺形OABCの面積Sは、

$S = | \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC} | = | \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} |$

$\triangle OAB = \frac{1}{2} | \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} | = \frac{1}{2}S$

$\triangle OAF = \frac{4}{9}\triangle OAB = \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}S = \frac{2}{9}S$

$\triangle OAE = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OE}| = \frac{1}{2}| \overrightarrow{a} \times \frac{2}{3} \overrightarrow{c}| = \frac{1}{3}S$

四角形OAFEの面積 = $\triangle OAF + \triangle OAE = \frac{2}{9}S + \frac{1}{3}S = \frac{2}{9}S + \frac{3}{9}S = \frac{5}{9}S$

したがって、四角形OAFEの面積は平行四辺形OABCの面積の$\frac{5}{9}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{a} + \frac{4}{9}\overrightarrow{c}$

(2) $\frac{5}{9}$倍