2つの直線 $l: (x, y) = (0, 3) + s(1, 2)$ と $m: (x, y) = (6, 1) + t(-2, 3)$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ と $m$ の交点の座標を求めます。 (2) 点 $P(4, 1)$ から直線 $l$ に垂線 $PQ$ を下ろしたとき、点 $Q$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l: (x, y) = (0, 3) + s(1, 2)$ と $m: (x, y) = (6, 1) + t(-2, 3)$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ と $m$ の交点の座標を求めます。

(2) 点 $P(4, 1)$ から直線 $l$ に垂線 $PQ$ を下ろしたとき、点 $Q$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ と $m$ の交点を求める。

直線 $l$ の式は、

$x = 0 + s$

$y = 3 + 2s$

直線 $m$ の式は、

$x = 6 - 2t$

$y = 1 + 3t$

交点では、$x$ 座標と $y$ 座標が等しいので、

$s = 6 - 2t$

$3 + 2s = 1 + 3t$

$s$ を代入すると、

$3 + 2(6 - 2t) = 1 + 3t$

$3 + 12 - 4t = 1 + 3t$

$15 - 4t = 1 + 3t$

$14 = 7t$

$t = 2$

$s = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$

$x = s = 2$

$y = 3 + 2s = 3 + 2(2) = 7$

したがって、交点の座標は $(2, 7)$ です。

(2) 点 $P(4, 1)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足 $Q$ を求める。

直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{d} = (1, 2)$ です。点 $Q$ は直線 $l$ 上の点なので、$Q(s, 3+2s)$ と表せます。

$\vec{PQ} = (s - 4, 3 + 2s - 1) = (s - 4, 2 + 2s)$

$\vec{PQ}$ が $\vec{d}$ と垂直であるとき、内積は 0 になります。

$\vec{PQ} \cdot \vec{d} = (s - 4)(1) + (2 + 2s)(2) = 0$

$s - 4 + 4 + 4s = 0$

$5s = 0$

$s = 0$

よって、$Q(0, 3 + 2(0)) = (0, 3)$

3. 最終的な答え

(1) 交点の座標: $(2, 7)$

(2) 点 Q の座標: $(0, 3)$