3点A(1, 7, 0), B(-1, 5, 0), C(-2, 6, 4)を通る平面をαとする。点P(1, 5, 5)から平面αに下ろした垂線の足をHとする。線分PHの長さと点Hの座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(1, 7, 0), B(-1, 5, 0), C(-2, 6, 4)を通る平面をαとする。点P(1, 5, 5)から平面αに下ろした垂線の足をHとする。線分PHの長さと点Hの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平面αの法線ベクトルを求める。$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 5-7 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 6-7 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積として計算できる。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(4) - (0)(-1) \\ (0)(-3) - (-2)(4) \\ (-2)(-1) - (-2)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\vec{n}$ は $\begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$ なので、$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ としてもよい。

平面αの方程式は、法線ベクトルを$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、点A(1, 7, 0)を通ることから、

$2(x - 1) - 2(y - 7) + 1(z - 0) = 0$

$2x - 2 - 2y + 14 + z = 0$

$2x - 2y + z + 12 = 0$

点Hは平面α上の点であり、直線PHは平面αに垂直である。したがって、$\vec{PH}$は$\vec{n}$と平行である。

点Hの座標を(x, y, z)とすると、

$\vec{PH} = \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 5 \\ z - 5 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、

$x = 2k + 1$

$y = -2k + 5$

$z = k + 5$

点H(2k+1, -2k+5, k+5)は平面α上にあるので、平面の方程式に代入する。

$2(2k + 1) - 2(-2k + 5) + (k + 5) + 12 = 0$

$4k + 2 + 4k - 10 + k + 5 + 12 = 0$

$9k + 9 = 0$

$k = -1$

点Hの座標は、

$x = 2(-1) + 1 = -1$

$y = -2(-1) + 5 = 7$

$z = -1 + 5 = 4$

H(-1, 7, 4)

線分PHの長さは、

$\vec{PH} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 7 - 5 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$|\vec{PH}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

3. 最終的な答え

線分PHの長さは3。

点Hの座標は(-1, 7, 4)。