半径が2である2つの円が、互いに相手方の円の中心を通るように重なっている。このとき、2つの円が重なった図形全体の面積$S$を求める。

1. 問題の内容

半径が2である2つの円が、互いに相手方の円の中心を通るように重なっている。このとき、2つの円が重なった図形全体の面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

* 2つの円の中心をそれぞれA, Bとする。また、2つの円の交点をC, Dとする。すると、四角形ACBDはひし形となる。

* ひし形ACBDは、一辺の長さが2の正三角形ABCと正三角形ABDの2つから構成されている。正三角形の1つの内角は$60^\circ$。

* 扇形ABCの面積は、円の面積$\pi r^2$に中心角の割合をかけることで求められる。半径$r=2$、中心角$120^\circ$（$360^\circ$の1/3）なので、扇形ABCの面積は$\pi (2)^2 \times \frac{120}{360} = \frac{4\pi}{3}$。扇形ABDも同様に$\frac{4\pi}{3}$。

* 正三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$で求められる。一辺の長さ$a=2$なので、正三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$。正三角形ABDも同様に$\sqrt{3}$。

* 三日月形の面積は、扇形から正三角形を引くことで求められる。$\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$。

* 図形全体の面積は、2つの円の面積から重なった部分を引くことで求められる。重なった部分は2つの三日月形なので、$2 \times (\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}) = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$。

* 円の面積は$\pi r^2$なので、半径2の円の面積は$\pi (2)^2 = 4\pi$。2つの円の面積は$8\pi$。

* 図形全体の面積は$8\pi - (\frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}) = 8\pi - \frac{8\pi}{3} + 2\sqrt{3} = \frac{16\pi}{3} + 2\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

$\frac{16\pi}{3} + 2\sqrt{3}$