問題22: ベクトルの等式 $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ を証明する。 問題23: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ のとき、$|2\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題22: ベクトルの等式 $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ を証明する。

問題23: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ のとき、$|2\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題22:

ベクトルの大きさの2乗は、ベクトル自身の内積で表されることを利用する。

まず、左辺を展開する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

内積の性質（分配法則）を用いて展開する。

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

内積の性質（交換法則: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$）を用いて整理する。

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

ベクトルの大きさの2乗と内積の関係 $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ を用いて書き換える。

$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ が証明された。

問題23:

$|2\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算する。

$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$

内積の性質（分配法則）を用いて展開する。

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})$

内積の性質（交換法則: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$）を用いて整理する。

$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})$

ベクトルの大きさの2乗と内積の関係 $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ を用いて書き換える。

$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

与えられた条件 $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ を代入する。

$4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4(1)^2 - 4(2) + (4)^2 = 4 - 8 + 16 = 12$

したがって、$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 12$ であるから、$|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問題22: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ (証明終わり)

問題23: $|2\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$