2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ (①) と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ (②) について、以下の問いに答えます。 (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。 (2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。 (3) 2つの円の交点と点 $(0, 3)$ を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ (①) と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ (②) について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

(3) 2つの円の交点と点 $(0, 3)$ を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す

円①の中心 $(0,0)$ と半径 $r_1 = \sqrt{5}$

円②の中心 $(1,2)$ と半径 $r_2 = 2$

2つの円の中心間の距離 $d$ は $d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ が成り立つことを示す。

$|\sqrt{5} - 2| < \sqrt{5} < \sqrt{5} + 2$

これは正しいので、2つの円は異なる2点で交わる。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める

2つの円の交点を通る直線の方程式は、

$x^2 + y^2 - 5 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - x^2 + 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 + 4 = 0$

$2x + 4y - 6 = 0$

$x + 2y - 3 = 0$

(3) 2つの円の交点と点 $(0, 3)$ を通る円の中心と半径を求める

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 5 + k(x + 2y - 3) = 0$

この円が点 $(0, 3)$ を通るので、

$0^2 + 3^2 - 5 + k(0 + 2\cdot 3 - 3) = 0$

$9 - 5 + k(6 - 3) = 0$

$4 + 3k = 0$

$k = -\frac{4}{3}$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 5 - \frac{4}{3}(x + 2y - 3) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 15 - 4x - 8y + 12 = 0$

$3x^2 - 4x + 3y^2 - 8y - 3 = 0$

$x^2 - \frac{4}{3}x + y^2 - \frac{8}{3}y - 1 = 0$

$(x - \frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 - 1 = 0$

$(x - \frac{2}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{16}{9} + 1 = \frac{4+16+9}{9} = \frac{29}{9}$

中心 $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

半径 $\sqrt{\frac{29}{9}} = \frac{\sqrt{29}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる

(2) $x + 2y - 3 = 0$

(3) 中心 $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$, 半径 $\frac{\sqrt{29}}{3}$