円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を求める問題です。円の式に直線の式を代入し、判別式を用いて共有点の個数を調べます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を求める問題です。円の式に直線の式を代入し、判別式を用いて共有点の個数を調べます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 = 1$ に $y = kx$ を代入すると、

$x^2 + (kx)^2 = 1$

$x^2 + k^2x^2 = 1$

$(1 + k^2)x^2 = 1$

$(1+k^2)x^2 - 1 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とおくと、

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a = (1 + k^2)$、$b = 0$、$c = -1$ なので、

$D = 0^2 - 4(1 + k^2)(-1)$

$D = 4(1 + k^2)$

$D = 4 + 4k^2$

$D = 4k^2 + 4$

共有点の個数が1個の時は$D=0$なので

$4k^2 + 4 = 0$

$4k^2 = -4$

(2) 判別式$D = 4k^2 + 4$を調べると、$k$ がどんな値でも $4k^2$ は0以上の値になるので $D>0$になります。なので、共有点の個数は2個です。

3. 最終的な答え

(1) $(k^2 + 1)x^2 - 1 = 0$

D = $4k^2 + 4$

$4k^2 + 4 > 0$

(2) 2個

答え: 2