関数 $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 10$ の $-3 \leq x \leq 3$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 10$ の $-3 \leq x \leq 3$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 関数 $y$ を $x$ で微分する。

$y' = 6x^2 - 6x - 12$

2. $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、$x = 2, -1$

3. 範囲 $-3 \leq x \leq 3$ における $y$ の値を、極値となる $x$ と範囲の端点で計算する。

- $x = -3$ のとき: $y = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 12(-3) + 10 = -54 - 27 + 36 + 10 = -35$

- $x = -1$ のとき: $y = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 10 = -2 - 3 + 12 + 10 = 17$

- $x = 2$ のとき: $y = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 10 = 16 - 12 - 24 + 10 = -10$

- $x = 3$ のとき: $y = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 10 = 54 - 27 - 36 + 10 = 1$

4. 計算した $y$ の値の中で最も小さいものが最小値となる。

3. 最終的な答え

-35