$\int \tan{x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \tan{x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{x}$ を $\sin{x}$ と $\cos{x}$ を用いて書き換えます。

$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

したがって、

$\int \tan{x} dx = \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx$

ここで、$\cos{x} = u$ と置換すると、微分は $du = -\sin{x} dx$ となります。

したがって、$dx = -\frac{du}{\sin{x}}$ となります。

置換積分を行うと、

$\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx = \int \frac{\sin{x}}{u} (-\frac{du}{\sin{x}}) = -\int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln{|u|} + C$

よって、

$-\int \frac{1}{u} du = -\ln{|u|} + C$

$u = \cos{x}$ を代入すると、

$-\ln{|\cos{x}|} + C$

$-\ln{|\cos{x}|} = \ln{|\cos{x}|^{-1}} = \ln{|\frac{1}{\cos{x}}|} = \ln{|\sec{x}|} + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan{x} dx = -\ln{|\cos{x}|} + C = \ln{|\sec{x}|} + C$