与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、aについて整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ が共通因数なので、くくりだします。

$= (b-c) [a^2 - (b+c)a + bc]$

$= (b-c) (a^2 - ab - ac + bc)$

次に、$a^2 - ab - ac + bc$ を因数分解します。

$a^2 - ab - ac + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$

したがって、

$(b-c) [a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

$= - (a-b)(b-c)(c-a)$

$= (a-b)(b-c)(a-c)(-1)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$