与えられた分数の式 $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた分数の式

$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

を簡単にします。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。

まず、$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を $(1+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ と見て、共役複素数$(1+\sqrt{3})-\sqrt{2}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})}$

分母を計算します。

$(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 2 = 4 + 2\sqrt{3} - 2 = 2 + 2\sqrt{3}$

分子を計算します。

$(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3} - \sqrt{2})$

$= 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{6} = 6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$

さらに分母の有理化を行います。分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1 - 3} = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$