$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$ が与えられている。共通解が1つだけ存在するとき、その共通解と $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$ が与えられている。共通解が1つだけ存在するとき、その共通解と $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とおく。すると、以下の2つの式が成り立つ。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2) = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - (a + 2)\alpha + (a + 7) = 0$ ...(2)

式(2)を2倍して、式(1)から引くと、以下の式が得られる。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2) - 2(\alpha^2 - (a + 2)\alpha + (a + 7)) = 0$

$2\alpha^2 - a\alpha - 2a - 2 - 2\alpha^2 + 2(a + 2)\alpha - 2a - 14 = 0$

$- a\alpha - 2a - 2 + 2a\alpha + 4\alpha - 2a - 14 = 0$

$(a + 4)\alpha - 4a - 16 = 0$

$(a + 4)\alpha = 4a + 16$

$(a + 4)\alpha = 4(a + 4)$ ...(3)

ここで、$a = -4$ のとき、式(3)は $0 = 0$ となり、$\alpha$ は任意の値をとる。

$a = -4$ を式(2)に代入すると、

$\alpha^2 - (-4 + 2)\alpha + (-4 + 7) = 0$

$\alpha^2 + 2\alpha + 3 = 0$

$\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

このとき、式(1)は

$2\alpha^2 - (-4)\alpha - (2(-4) + 2) = 0$

$2\alpha^2 + 4\alpha - (-8 + 2) = 0$

$2\alpha^2 + 4\alpha + 6 = 0$

$\alpha^2 + 2\alpha + 3 = 0$

となり、式(2)と同じになるので、共通解が2つ存在することになり、条件を満たさない。

したがって、$a \ne -4$ であるので、式(3)より、$\alpha = 4$

$\alpha = 4$ を式(2)に代入すると、

$4^2 - (a + 2)4 + (a + 7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$-3a + 15 = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

$a=5$のとき、

$2x^2 - 5x - (2(5) + 2) = 0$

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x + 3)(x - 4) = 0$

$x = -\frac{3}{2}, 4$

$x^2 - (5 + 2)x + (5 + 7) = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x - 3)(x - 4) = 0$

$x = 3, 4$

共通解は $x = 4$ のみ。したがって、条件を満たす。

3. 最終的な答え

共通解は 4 であり、$a = 5$ である。