(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求める。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求める。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x + 2y + 12 = 0$ より、$x = -2y - 12$ である。

これを $xy$ に代入すると、

$xy = (-2y - 12)y = -2y^2 - 12y$

$= -2(y^2 + 6y) = -2(y^2 + 6y + 9 - 9) = -2((y+3)^2 - 9) = -2(y+3)^2 + 18$

$-2(y+3)^2$ は常に 0 以下であるため、$xy$ が最大となるのは $y = -3$ のときである。

このとき、$xy = 18$ となる。また、$x = -2(-3) - 12 = 6 - 12 = -6$ となる。

(2)

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ より、$y = 4 - x$ である。

$y \geq 0$ より、$4 - x \geq 0$ なので、$x \leq 4$ である。

また、$x \geq 0$ であるから、$0 \leq x \leq 4$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $xy$ の最大値: 18

(2) $x$ のとりうる値の範囲: $0 \leq x \leq 4$