(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x + 2y + 12 = 0$ より、$x = -2y - 12$。

$xy = (-2y - 12)y = -2y^2 - 12y = -2(y^2 + 6y) = -2(y^2 + 6y + 9 - 9) = -2((y+3)^2 - 9) = -2(y+3)^2 + 18$。

$xy$ が最大値をとるのは $y = -3$ のときで、その最大値は $18$。

このとき、$x = -2(-3) - 12 = 6 - 12 = -6$。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$。

$x + y = 4$ より、$y = 4 - x$。

$y \geq 0$ より、$4 - x \geq 0$, よって、$x \leq 4$。

また、$x \geq 0$ より、$0 \leq x \leq 4$。

$x^2 + y^2 = x^2 + (4-x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x^2 - 4x) + 16 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16 = 2((x-2)^2 - 4) + 16 = 2(x-2)^2 - 8 + 16 = 2(x-2)^2 + 8$。

$0 \leq x \leq 4$ において、

$x = 2$ のとき、最小値 $2(2-2)^2 + 8 = 8$。

$x = 0$ または $x = 4$ のとき、最大値 $2(0-2)^2 + 8 = 2(4) + 8 = 8 + 8 = 16$。

3. 最終的な答え

(1) $xy$ の最大値は $18$。

(2) $x$ のとりうる値の範囲は $0 \leq x \leq 4$。

$x^2 + y^2$ の最大値は $16$、最小値は $8$。