与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は2つあり、ここでは1つ目の数列についてのみ解きます。 数列：2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は2つあり、ここでは1つ目の数列についてのみ解きます。

数列：2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, ...

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。第 $n$ 項 $a_n$ は、初項から $2n$ までの偶数の和です。

$a_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$

これは初項2、公差2、項数 $n$ の等差数列の和なので、

$a_n = \frac{n}{2} (2 + 2n) = \frac{n}{2} \cdot 2(1+n) = n(n+1) = n^2 + n$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1+3) = \frac{n(n+1)}{6} (2n+4) = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

数列 2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, ... の初項から第 $n$ 項までの和は

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$