不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解く。ただし、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解く。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開します。

$ax + a > x + a^2$

次に、$x$ を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に移動します。

$ax - x > a^2 - a$

$x$ でくくり、整理します。

$(a-1)x > a^2 - a$

さらに、右辺を因数分解します。

$(a-1)x > a(a-1)$

ここで、$a$ の値によって場合分けが必要です。

(i) $a > 1$ のとき、$a-1 > 0$ なので、不等式の両辺を $a-1$ で割ると、不等号の向きは変わりません。

$x > \frac{a(a-1)}{a-1}$

$x > a$

(ii) $a < 1$ のとき、$a-1 < 0$ なので、不等式の両辺を $a-1$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$x < \frac{a(a-1)}{a-1}$

$x < a$

(iii) $a = 1$ のとき、$a-1 = 0$ なので、不等式は $0 \cdot x > 0$ となります。

この不等式を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき、$x > a$

$a < 1$ のとき、$x < a$

$a = 1$ のとき、解なし