次の式を計算してください。 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

2. 解き方の手順

各分数の分母を有理化します。

(1) $\frac{1}{1-\sqrt{2}}$ の有理化:

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の有理化:

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{3}-2}$ の有理化:

$\frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{1}{\sqrt{3}-2} \cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2$

与式に代入して計算します。

$(-1-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-2) = -1-\sqrt{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3} - \sqrt{3}-2 = -1 - 2 = -3$

3. 最終的な答え

-3