次の2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 2x + 5 > 0$ (2) $x^2 - 14x + 49 > 0$ (3) $x^2 - 8x + 16 \ge 0$ (4) $x^2 - 6x + 12 \ge 0$ (5) $x^2 - 4x + 5 < 0$ (6) $4x^2 + 12x + 9 \le 0$

## 解答

1. 問題の内容

次の2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 2x + 5 > 0$

(2) $x^2 - 14x + 49 > 0$

(3) $x^2 - 8x + 16 \ge 0$

(4) $x^2 - 6x + 12 \ge 0$

(5) $x^2 - 4x + 5 < 0$

(6) $4x^2 + 12x + 9 \le 0$

2. 解き方の手順

各2次不等式について、以下の手順で解きます。

* 2次方程式の判別式 $D$ を計算します。$D = b^2 - 4ac$

* $D$ の値に応じて、以下の通りに解を求めます。

* $D > 0$ の場合: 2つの異なる実数解を持ちます。

* $D = 0$ の場合: 1つの実数解（重解）を持ちます。

* $D < 0$ の場合: 実数解を持ちません。

* 不等号の向きと解の存在範囲を考慮して、不等式の解を求めます。

以下、各不等式について具体的に解いていきます。

(1) $x^2 - 2x + 5 > 0$

$D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

$x^2$ の係数が正であるため、すべての実数 $x$ で不等式は成立します。

(2) $x^2 - 14x + 49 > 0$

$(x - 7)^2 > 0$

$x = 7$ を除くすべての実数 $x$ で不等式は成立します。

(3) $x^2 - 8x + 16 \ge 0$

$(x - 4)^2 \ge 0$

すべての実数 $x$ で不等式は成立します。

(4) $x^2 - 6x + 12 \ge 0$

$D = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$

$x^2$ の係数が正であるため、すべての実数 $x$ で不等式は成立します。

(5) $x^2 - 4x + 5 < 0$

$D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$

$x^2$ の係数が正であるため、すべての実数 $x$ で $x^2-4x+5>0$となります。したがって、与えられた不等式を満たす $x$ は存在しません。

(6) $4x^2 + 12x + 9 \le 0$

$(2x + 3)^2 \le 0$

実数の2乗は常に0以上なので、$(2x + 3)^2 = 0$ となる $x$ のみを考えます。

$2x + 3 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) $x \ne 7$

(3) すべての実数

(4) すべての実数

(5) 解なし

(6) $x = -\frac{3}{2}$