複素数の直交表示を極表示に変換し、極表示を用いた計算を行う問題です。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。 (1) $-2\sqrt{3} + j2$ を極表示に変換する。 (2) $\frac{(-\sqrt{3} + j)^3}{2 - j2}$ を計算し、極表示で表す。 (3) $\frac{(-\sqrt{2} + j\sqrt{2})^4}{(1 + j\sqrt{3})^5}$ を計算し、極表示で表す。

1. 問題の内容

複素数の直交表示を極表示に変換し、極表示を用いた計算を行う問題です。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。

(1) $-2\sqrt{3} + j2$ を極表示に変換する。

(2) $\frac{(-\sqrt{3} + j)^3}{2 - j2}$ を計算し、極表示で表す。

(3) $\frac{(-\sqrt{2} + j\sqrt{2})^4}{(1 + j\sqrt{3})^5}$ を計算し、極表示で表す。

2. 解き方の手順

(1) 直交表示から極表示への変換：

複素数 $z = a + jb$ を極表示 $r e^{j\theta}$ に変換するには、以下の手順に従います。

- 絶対値 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算する。

- 偏角 $\theta = \arctan(\frac{b}{a})$ を計算する。ただし、$\arctan$ の値域に注意し、複素数平面上での位置に応じて適切な象限を選択する。

(2) 極表示を用いた計算：

複素数の積と商は、極表示を用いると簡単に計算できます。

- 積：$r_1 e^{j\theta_1} \cdot r_2 e^{j\theta_2} = r_1 r_2 e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$

- 商：$\frac{r_1 e^{j\theta_1}}{r_2 e^{j\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{j(\theta_1 - \theta_2)}$

- べき乗：$(re^{j\theta})^n = r^n e^{jn\theta}$

では、具体的な問題を解いていきましょう。

(1) $z = -2\sqrt{3} + j2$

$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\theta = \arctan(\frac{2}{-2\sqrt{3}}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

$z$ は第二象限にあるため、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$z = 4 e^{j\frac{5\pi}{6}}$

(2) $\frac{(-\sqrt{3} + j)^3}{2 - j2}$

まず、各複素数を極表示に変換します。

$z_1 = -\sqrt{3} + j$

$r_1 = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$

$\theta_1 = \arctan(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}$

$z_1 = 2 e^{j\frac{5\pi}{6}}$

$z_2 = 2 - j2$

$r_2 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\theta_2 = \arctan(\frac{-2}{2}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

$z_2 = 2\sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}}$

$\frac{(-\sqrt{3} + j)^3}{2 - j2} = \frac{(2 e^{j\frac{5\pi}{6}})^3}{2\sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{8 e^{j\frac{5\pi}{2}}}{2\sqrt{2} e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} e^{j(\frac{5\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = 2\sqrt{2} e^{j\frac{11\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{j\frac{3\pi}{4}}$

(3) $\frac{(-\sqrt{2} + j\sqrt{2})^4}{(1 + j\sqrt{3})^5}$

$z_3 = -\sqrt{2} + j\sqrt{2}$

$r_3 = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_3 = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}) = \arctan(-1) = \frac{3\pi}{4}$

$z_3 = 2 e^{j\frac{3\pi}{4}}$

$z_4 = 1 + j\sqrt{3}$

$r_4 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_4 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$

$z_4 = 2 e^{j\frac{\pi}{3}}$

$\frac{(-\sqrt{2} + j\sqrt{2})^4}{(1 + j\sqrt{3})^5} = \frac{(2 e^{j\frac{3\pi}{4}})^4}{(2 e^{j\frac{\pi}{3}})^5} = \frac{16 e^{j3\pi}}{32 e^{j\frac{5\pi}{3}}} = \frac{1}{2} e^{j(3\pi - \frac{5\pi}{3})} = \frac{1}{2} e^{j\frac{4\pi}{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $-2\sqrt{3} + j2 = 4 e^{j\frac{5\pi}{6}}$

(2) $\frac{(-\sqrt{3} + j)^3}{2 - j2} = 2\sqrt{2} e^{j\frac{3\pi}{4}}$

(3) $\frac{(-\sqrt{2} + j\sqrt{2})^4}{(1 + j\sqrt{3})^5} = \frac{1}{2} e^{j\frac{4\pi}{3}}$