定数 $c$ の値を求める問題です。 (1) 関数 $y = x^2 - 4x + c$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が8である。 (2) 関数 $y = -x^2 - 2x + c$ ($0 \le x \le 2$) の最小値が-3である。

1. 問題の内容

定数 $c$ の値を求める問題です。

(1) 関数 $y = x^2 - 4x + c$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が8である。

(2) 関数 $y = -x^2 - 2x + c$ ($0 \le x \le 2$) の最小値が-3である。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 4x + c$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 4 + c$

この関数のグラフは下に凸の放物線で、軸は $x = 2$ です。

定義域は $1 \le x \le 5$ であるから、$x = 5$ で最大値をとります。

$x = 5$ のとき、$y = (5 - 2)^2 - 4 + c = 9 - 4 + c = 5 + c$

$5 + c = 8$ より、$c = 3$

(2)

まず、$y = -x^2 - 2x + c$ を平方完成します。

$y = -(x + 1)^2 + 1 + c$

この関数のグラフは上に凸の放物線で、軸は $x = -1$ です。

定義域は $0 \le x \le 2$ であるから、$x = 2$ で最小値をとります。

$x = 2$ のとき、$y = -(2 + 1)^2 + 1 + c = -9 + 1 + c = -8 + c$

$-8 + c = -3$ より、$c = 5$

3. 最終的な答え

(1) $c = 3$

(2) $c = 5$