## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

2つの問題があります。

* **問題2：** 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

* (1) $x^2 + 4x + 1 = 0$

* (2) $x^2 + 2x - 1 = 0$

* (3) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

* (4) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

* **問題5：** 次の2次不等式を解きなさい。

* (1) $x^2 + 5x - 6 > 0$

* (2) $x^2 - 8x + 12 < 0$

* (3) $x^2 + 2x - 3 > 0$

* (4) $x^2 + 3x + 1 > 0$

* (5) $x^2 - 6x + 9 > 0$

* (6) $x^2 - 2x + 3 < 0$

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2. 解き方の手順

#### 問題2：2次方程式の実数解の個数

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって決まります。

* $D > 0$ のとき、実数解は2個

* $D = 0$ のとき、実数解は1個

* $D < 0$ のとき、実数解は0個

(1) $x^2 + 4x + 1 = 0$

$a = 1$, $b = 4$, $c = 1$

$D = 4^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 > 0$

(2) $x^2 + 2x - 1 = 0$

$a = 1$, $b = 2$, $c = -1$

$D = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8 > 0$

(3) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

$a = 6$, $b = -7$, $c = 3$

$D = (-7)^2 - 4(6)(3) = 49 - 72 = -23 < 0$

(4) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

$a = 9$, $b = 12$, $c = 4$

$D = (12)^2 - 4(9)(4) = 144 - 144 = 0$

#### 問題5：2次不等式

2次不等式を解くには、まず対応する2次方程式を解き、解の範囲を調べます。

(1) $x^2 + 5x - 6 > 0$

$(x+6)(x-1) > 0$

$x < -6$ または $x > 1$

(2) $x^2 - 8x + 12 < 0$

$(x-2)(x-6) < 0$

$2 < x < 6$

(3) $x^2 + 2x - 3 > 0$

$(x+3)(x-1) > 0$

$x < -3$ または $x > 1$

(4) $x^2 + 3x + 1 > 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x < \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

(5) $x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x-3)^2 > 0$

$x \neq 3$

(6) $x^2 - 2x + 3 < 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2}$

実数解を持たない。

$x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 > 0$ なので、解なし。

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3. 最終的な答え

**問題2：**

(1) 実数解の個数：2個

(2) 実数解の個数：2個

(3) 実数解の個数：0個

(4) 実数解の個数：1個

**問題5：**

(1) $x < -6$ または $x > 1$

(2) $2 < x < 6$

(3) $x < -3$ または $x > 1$

(4) $x < \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ または $x > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

(5) $x \neq 3$

(6) 解なし