二次関数 $y = -2x^2 - 12x - 15$ の $-5 \le x \le -2$ における最大値と最小値を求める問題です。平方完成を行い、グラフの頂点と定義域の端点における $y$ の値を比較することで最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 - 12x - 15$ の $-5 \le x \le -2$ における最大値と最小値を求める問題です。平方完成を行い、グラフの頂点と定義域の端点における $y$ の値を比較することで最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 12x - 15$

$y = -2(x^2 + 6x) - 15$

$y = -2\{(x + 3)^2 - 3^2\} - 15$

$y = -2(x + 3)^2 + 2 \cdot 9 - 15$

$y = -2(x + 3)^2 + 18 - 15$

$y = -2(x + 3)^2 + 3$

したがって、グラフの頂点は $(-3, 3)$ であり、上に凸の放物線です。

定義域は $-5 \le x \le -2$ なので、端点 $x = -5$ と $x = -2$ における $y$ の値を計算します。

$x = -5$ のとき、

$y = -2(-5 + 3)^2 + 3 = -2(-2)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$

$x = -2$ のとき、

$y = -2(-2 + 3)^2 + 3 = -2(1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$

頂点の $x$ 座標 $-3$ は定義域 $-5 \le x \le -2$ に含まれています。頂点の $y$ 座標は $3$ です。

したがって、定義域内でグラフは頂点で最大値をとり、端点の $x = -5$ で最小値をとります。

3. 最終的な答え

$x = -3$ のとき、最大値 $3$

$x = -5$ のとき、最小値 $-5$