一次関数 $f(x) = ax + b$ について、与えられた条件を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。以下の4つの条件について、$a$と$b$を求めます。 (1) $f(1) = -2$, $f(3) = 4$ (2) $f(2) = 2$, $f(-4) = 14$ (3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$, $f(-1) = \frac{5}{4}$ (4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$, $f(-3) = -2$

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = ax + b$ について、与えられた条件を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。以下の4つの条件について、$a$と$b$を求めます。

(1) $f(1) = -2$, $f(3) = 4$

(2) $f(2) = 2$, $f(-4) = 14$

(3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$, $f(-1) = \frac{5}{4}$

(4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$, $f(-3) = -2$

2. 解き方の手順

一次関数 $f(x) = ax + b$ に与えられた $x$ の値を代入し、$a$ と $b$ に関する連立一次方程式を立てます。その連立方程式を解いて、$a$ と $b$ の値を求めます。

(1) $f(1) = -2$, $f(3) = 4$ より、

$a + b = -2$

$3a + b = 4$

この連立方程式を解きます。下の式から上の式を引くと、

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$ を $a + b = -2$ に代入すると、

$3 + b = -2$

$b = -5$

(2) $f(2) = 2$, $f(-4) = 14$ より、

$2a + b = 2$

$-4a + b = 14$

この連立方程式を解きます。下の式から上の式を引くと、

$-6a = 12$

$a = -2$

$a = -2$ を $2a + b = 2$ に代入すると、

$-4 + b = 2$

$b = 6$

(3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$, $f(-1) = \frac{5}{4}$ より、

$-3a + b = -\frac{1}{4}$

$-a + b = \frac{5}{4}$

この連立方程式を解きます。下の式から上の式を引くと、

$2a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$a = \frac{3}{4}$ を $-a + b = \frac{5}{4}$ に代入すると、

$-\frac{3}{4} + b = \frac{5}{4}$

$b = \frac{8}{4} = 2$

(4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$, $f(-3) = -2$ より、

$-2a + b = -\frac{5}{2}$

$-3a + b = -2$

この連立方程式を解きます。下の式から上の式を引くと、

$-a = -2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$ を $-2a + b = -\frac{5}{2}$ に代入すると、

$1 + b = -\frac{5}{2}$

$b = -\frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = -5$

(2) $a = -2$, $b = 6$

(3) $a = \frac{3}{4}$, $b = 2$

(4) $a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{7}{2}$