次の連立不等式を解く問題です。 $\begin{cases} x^2 - 4x + 1 \le 0 \\ |2x - 1| \ge 3 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases}

x^2 - 4x + 1 \le 0 \\

|2x - 1| \ge 3

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x + 1 \le 0$ を解きます。二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 - 4x + 1 \le 0$ の解は、$2 - \sqrt{3} \le x \le 2 + \sqrt{3}$ です。

次に、$|2x - 1| \ge 3$ を解きます。

$2x - 1 \ge 3$ または $2x - 1 \le -3$

$2x \ge 4$ または $2x \le -2$

$x \ge 2$ または $x \le -1$

したがって、$|2x - 1| \ge 3$ の解は、$x \le -1$ または $x \ge 2$ です。

連立不等式の解は、$2 - \sqrt{3} \le x \le 2 + \sqrt{3}$ かつ $(x \le -1$ または $x \ge 2)$ を満たす $x$ です。

$2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268$

$2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732$

よって、$2 - \sqrt{3} \le x \le 2 + \sqrt{3}$ かつ $x \le -1$ の解は存在しません。

$2 - \sqrt{3} \le x \le 2 + \sqrt{3}$ かつ $x \ge 2$ の解は、$2 \le x \le 2 + \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

$2 \le x \le 2 + \sqrt{3}$