$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2} - 1$ から $\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

次に、分母を有理化します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

次に、$x^2$ と $\frac{1}{x^2}$ を求めます。

$x^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{x^2} = (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

最後に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算します。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6$

3. 最終的な答え

6