与えられた多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 6x - 11y + 5$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 6x - 11y + 5$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、多項式を $x$ について整理します。

$$x^2 + (3y - 6)x + (2y^2 - 11y + 5)$$

次に、$x$ の係数である $3y - 6$ を半分にして2乗したものを考えます。

$$(\frac{3y - 6}{2})^2 = \frac{9y^2 - 36y + 36}{4}$$

この値を使って多項式を平方完成させようとすると複雑になるので、因数分解できると仮定して、以下の形を考えます。

$$(x + ay + b)(x + cy + d)$$

この式を展開すると、

$$x^2 + (a + c)xy + acy^2 + (b + d)x + (ad + bc)y + bd$$

元の多項式と比較すると、次のようになります。

\begin{align*} a + c &= 3 \\ ac &= 2 \\ b + d &= -6 \\ ad + bc &= -11 \\ bd &= 5 \end{align*}

$ac = 2$ より、$a = 1, c = 2$ または $a = 2, c = 1$ が考えられます。

$bd = 5$ より、$b = -1, d = -5$ または $b = -5, d = -1$ が考えられます。

$a = 1, c = 2$ のとき、$ad + bc = -5 + 2b = -11$ となり、$2b = -6$ から $b = -3$ となりますが、$b=-3$と$bd=5$が矛盾します。

$a = 2, c = 1$ のとき、$ad + bc = 2d + b = -11$ となります。

ここで、$b = -1, d = -5$ とすると、$2d + b = -10 - 1 = -11$ となり、条件を満たします。

また、$b = -5, d = -1$ とすると、$2d + b = -2 - 5 = -7$ となり、条件を満たしません。

したがって、$a = 2, c = 1, b = -1, d = -5$ となります。

$b + d = -1 - 5 = -6$ となり、条件を満たします。

よって、因数分解は

$$(x + 2y - 1)(x + y - 5)$$

となります。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 1)(x + y - 5)$