与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式の積の順番を工夫します。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置くと、式は次のようになります。

$(y+7)(y+15) + 15$

これを展開します。

$y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$

この式を因数分解します。

$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$

ここで、$y = x^2 - 8x$ を元に戻します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 12)$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

したがって、最終的な因数分解の結果は

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$