与えられた式 $(x+2y-z)(x-2y+z)$ を展開して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2y-z)(x-2y+z)$ を展開して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、式を $(x+(2y-z))(x-(2y-z))$ のように変形します。

これは、$A=2y-z$ と置くと、$(x+A)(x-A)$ となり、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ が使えます。

したがって、

$(x+(2y-z))(x-(2y-z)) = x^2 - (2y-z)^2$

次に、$(2y-z)^2$ を展開します。

$(2y-z)^2 = (2y)^2 - 2(2y)(z) + z^2 = 4y^2 - 4yz + z^2$

よって、

$x^2 - (2y-z)^2 = x^2 - (4y^2 - 4yz + z^2) = x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$

3. 最終的な答え

$x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$