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与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $(x^2 - x + 1)(x^2 - x - 6) + 12$ (2) $x^4 - x^2 - 12$

代数学因数分解二次式多項式
2025/3/18

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。
(1) (x2−x+1)(x2−x−6)+12(x^2 - x + 1)(x^2 - x - 6) + 12
(2) x4−x2−12x^4 - x^2 - 12

2. 解き方の手順

(1)
x2−x=Ax^2 - x = A とおくと、
(x2−x+1)(x2−x−6)+12=(A+1)(A−6)+12(x^2 - x + 1)(x^2 - x - 6) + 12 = (A + 1)(A - 6) + 12
=A2−5A−6+12= A^2 - 5A - 6 + 12
=A2−5A+6= A^2 - 5A + 6
=(A−2)(A−3)= (A - 2)(A - 3)
ここで、A=x2−xA = x^2 - x を代入すると、
(x2−x−2)(x2−x−3)=(x−2)(x+1)(x2−x−3)(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 3) = (x - 2)(x + 1)(x^2 - x - 3)
(2)
x2=Bx^2 = B とおくと、
x4−x2−12=B2−B−12x^4 - x^2 - 12 = B^2 - B - 12
=(B−4)(B+3)= (B - 4)(B + 3)
ここで、B=x2B = x^2 を代入すると、
(x2−4)(x2+3)=(x−2)(x+2)(x2+3)(x^2 - 4)(x^2 + 3) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 3)

3. 最終的な答え

(1) (x−2)(x+1)(x2−x−3)(x - 2)(x + 1)(x^2 - x - 3)
(2) (x−2)(x+2)(x2+3)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 3)

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