$i$を虚数単位とし、$\alpha = 2+2i$とする。また、複素数$z_n$を $z_n = \alpha (\frac{i}{\sqrt{2}})^n$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ により定め、Oを原点とする複素数平面上で$z_n$が表す点を$P_n$とする。 (1) $\alpha$を極形式で表せ。また、$\alpha^6$, $\alpha^9$の偏角を求めよ。ただし、偏角は$0$以上$2\pi$未満とする。 (2) $P_n$がOを中心とする半径8の円の内部にあるような$n$の値のうち最小のものを求めよ。 (3) $\alpha^6$が表す点をAとする。$P_n$がOを中心とする半径8の円の外部にあり、かつ、線分OAを直径とする円の内部にあるような$n$の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$i$を虚数単位とし、$\alpha = 2+2i$とする。また、複素数$z_n$を

$z_n = \alpha (\frac{i}{\sqrt{2}})^n$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

により定め、Oを原点とする複素数平面上で$z_n$が表す点を$P_n$とする。

(1) $\alpha$を極形式で表せ。また、$\alpha^6$, $\alpha^9$の偏角を求めよ。ただし、偏角は$0$以上$2\pi$未満とする。

(2) $P_n$がOを中心とする半径8の円の内部にあるような$n$の値のうち最小のものを求めよ。

(3) $\alpha^6$が表す点をAとする。$P_n$がOを中心とする半径8の円の外部にあり、かつ、線分OAを直径とする円の内部にあるような$n$の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = 2+2i$ を極形式で表す。

まず、$\alpha$の絶対値を求める。

$|\alpha| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、偏角$\theta$を求める。

$\cos \theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\alpha = 2\sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$\alpha^6 = (2\sqrt{2})^6 (\cos \frac{6\pi}{4} + i \sin \frac{6\pi}{4}) = (2^3\sqrt{2}^3)^2 (\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$

$\alpha^6 = (8\cdot 2\sqrt{2})^2 (\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$

$\alpha^6 = 64 (\sqrt{2})^6 = 512 (\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$

$\alpha^6$の偏角は$\frac{3\pi}{2}$

$\alpha^9 = (2\sqrt{2})^9 (\cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4}) = (2\sqrt{2})^9 (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$(2\sqrt{2})^9 = 2^9 (\sqrt{2})^9 = 2^9 2^{9/2} = 2^{18/2} 2^{9/2} = 2^{27/2}$

$|\alpha^9| = 2^{27/2} = (2^{13}\sqrt{2}) = 8192\sqrt{2}$

$\alpha^9$の偏角は$\frac{\pi}{4}$

(2) $|z_n| = |\alpha (\frac{i}{\sqrt{2}})^n| = |\alpha| |\frac{i}{\sqrt{2}}|^n = 2\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^n$

$|z_n| < 8$となる$n$を求める。

$2\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^n < 8$

$(\frac{1}{\sqrt{2}})^n < \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-3}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}})^n < (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-3}$

$n > -3$なのでこれは常に成立する。

$2^{1/2}$

$(\frac{1}{2})^{n/2} < 2^{3/2}$

$2^{-n/2} < 2^{3/2}$

$-\frac{n}{2} < \frac{3}{2}$

$-n < 3$

$n > -3$

$n=1, 2, 3, \dots$であるので、常に $|z_n|<8$ が成り立つわけではない。

$|z_n| = 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})^n = 2^{1.5} 2^{-n/2} = 2^{(3-n)/2} < 8 = 2^3$

$(3-n)/2 < 3$

$3-n < 6$

$-n < 3$

$n > -3$

$|z_n| < 8$

$2\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n < 8$

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n < \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = 2^{3/2} = (\sqrt{2})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-3}$

$n > -3$

$n \geq 1$であるから，$n=1, 2, 3, \dots$を代入する。

$n=1$: $|z_1| = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 < 8$

$n=2$: $|z_2| = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} < 8$

$n=3$: $|z_3| = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = 1 < 8$

$n=4$: $|z_4| = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 8$

最小の$n$は1である。

(3) $\alpha^6 = 512 (\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = 512 (0 - i) = -512i$

よって、Aは$-512i$の点。

線分OAを直径とする円の中心は、$-256i$。半径は$256$。

$P_n$がOを中心とする半径8の円の外部にあるので $|z_n| > 8$

$|z_n| = 2\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^n > 8$

$(\frac{1}{\sqrt{2}})^n > 2\sqrt{2} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-3}$

$n < -3$

$P_n$が線分OAを直径とする円の内部にあるので $|z_n + 256i| < 256$

$z_n = \alpha (\frac{i}{\sqrt{2}})^n = (2+2i) (\frac{i}{\sqrt{2}})^n$

$n=1: z_1 = (2+2i)\frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{2i - 2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$

$z_1 + 256i = -\sqrt{2} + (256 + \sqrt{2})i$

$|z_1 + 256i| = \sqrt{2 + (256 + \sqrt{2})^2} \approx 256.004 > 256$

$n=2: z_2 = (2+2i) (\frac{i}{\sqrt{2}})^2 = (2+2i) (-\frac{1}{2}) = -1-i$

$z_2 + 256i = -1 + 255i$

$|z_2 + 256i| = \sqrt{1+255^2} = \sqrt{1+65025} = \sqrt{65026} \approx 255.002 < 256$

$|z_n| > 8$より、$2\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^n > 8 \Rightarrow (\frac{1}{\sqrt{2}})^n > \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-3}$

$n < -3$ となるので、$n \in \{1, 2, 3, ... \}$では $|z_n| < 8$ となる。

与えられた条件を両方満たす$n$は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 2\sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$\alpha^6$の偏角は$\frac{3\pi}{2}$

$\alpha^9$の偏角は$\frac{\pi}{4}$

(2) $n=1$

(3) 存在しない