整式 $x^3 + 2x^2 - 4x + a$ を整式 $x^2 - x - 2$ で割った余りが $x+7$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + 2x^2 - 4x + a$ を整式 $x^2 - x - 2$ で割った余りが $x+7$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x - 2$ を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

剰余の定理より、

$P(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + a$ とおくと、

$P(2) = 2 + 7 = 9$

$P(-1) = -1 + 7 = 6$

$P(2)$ を計算します。

$P(2) = 2^3 + 2(2^2) - 4(2) + a = 8 + 8 - 8 + a = 8 + a$

$P(-1)$ を計算します。

$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) + a = -1 + 2 + 4 + a = 5 + a$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$8 + a = 9$

$5 + a = 6$

どちらの式からでも $a$ の値が求められます。

$a = 9 - 8 = 1$

$a = 6 - 5 = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$