$a, b$ は正の数であるとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つときを求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は正の数であるとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つときを求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + a \cdot \frac{4}{a} + \frac{1}{b} \cdot b + \frac{1}{b} \cdot \frac{4}{a} = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

次に、$ab > 0$ であるから、相加相乗平均の関係を利用します。

$ab + \frac{4}{ab} \ge 2 \sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

よって、

$ab + \frac{4}{ab} + 5 \ge 4 + 5 = 9$

したがって、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$ab = \frac{4}{ab}$ のときです。

$ab = \frac{4}{ab}$ を解くと、$(ab)^2 = 4$ となります。

$ab > 0$ より、$ab = 2$ のときに等号が成り立ちます。

ア：4

イ：ab

ウ：5

エ：相加相乗平均

オ：4

ク：4

ケ：5

コ：2

3. 最終的な答え

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \ge 9$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $ab = 2$ のときである。